Feasible proofs of matrix identities with csanky's algorithm - CSL 2005
The Proof Complexity of Linear Algebra - LICS 2002
1. Ì ÈÖÓÓ ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó Ä Ò Ö
Ð Ö
Å
Ð ËÓÐØÝ× Ò ËØ Ô Ò ÓÓ
ÂÙÐÝ ¾¼¼¾
½
2. Ï Ø × Ø
ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó ÔÖÓÚ Ò Ø
ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÔÖ Ò
ÔÐ × Ó Ð Ò Ö Ð Ö
ÓÖ Ü ÑÔÐ
¯ Á Á
¯ Ì ÝРݹÀ Ñ ÐØÓÒ Ì ÓÖ Ñ¸
Ô ´ µ ¼
¯ Ì ÑÙÐØ ÔÐ
Ø Ú ØÝ Ó Ø ÖÑ Ò Òظ
Ø´ µ Ø´ µ Ø´ µ
¾
3. Á Á
ÈÖÓÔÓ× Ý ÓÓ ×
Ò Ø ÓÖ
× Ô Ö Ø Ò Ö Ò ÜØ Ò Ö º
ÁØ ØÙÖÒ× ÓÙØ ØÓ Ô¹ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ò Ö ´ÓÚ Ö
¬Ü ¬ Ð ×Ù
× Ô ÓÖ É µ ØÓ
¯ ´ Á Áµ
¯ Á ´ ¼ ¼µ
¯ Á Á
¯ Á Ø Ø Á
¿
4. Á Á
Ò ÔÖÓÚ Ò Ò ÔÓÐÝ× Þ
ÜØ Ò Ö ¸
Ù× Ù×× Ò
Ð Ñ Ò Ø ÓÒ
Ò ÔÖÓÚ Ò
ÓÖÖ
Ø Ò ÔÓÐÝ× Þ
ÜØ Ò Ö º
ÓÖÖ
Ø Ñ Ò× ÒÝ Ñ ØÖ Ü
Ò
ÓÒÚ ÖØ ØÓ ÖÓÛ¹
ÐÓÒ ÓÖÑ Û Ø
× ÕÙ Ò
Ó Ð Ñ ÒØ ÖÝ ÖÓÛ ÓÔ Ö Ø ÓÒ׺
Í× Ò Ø ×
ÓÒ Ø ÓÒ Ó
ÓÖÖ
ØÒ ×׸ Û
Ò
× ÓÛ Ø Ø Á¸ Ø Ò Ø Ö Ü ×Ø× Ð Ø
ÒÚ Ö× Ó º Ë Ò
Ø
Ò ÔÖÓÚ Ò Ò
ÔÓÐÝ× Þ Ö Ø Ø Á ´ Áµ ¼¸
Û Ö ÓÒ º
ÇÒ Ø ÓØ Ö Ò ¸ Ø × Ñ× Ø Ø
Á Á
ÒÒÓØ ÔÖÓÚ Ò Û Ø
ÔÓÐÝ× Þ Ö ÔÖÓÓ ×º
5. Ù×× Ò Ð Ñ Ò Ø ÓÒ × Û ÐÐ ×ØÙ
ÔÓÐÝØ Ñ Ð ÓÖ Ø Ñ¸ Û Ó×
ÓÖÖ
ØÒ ××
Ò
× ÓÛÒ × ÐÝ Ò ÔÓÐÝ× Þ ÜØ Ò Ö º
ÀÓÛ Ú Ö¸ Ø × Ñ× ØÓ Ò Ö ÒØÐÝ × ÕÙ ÒØ Ðº
Ì Ö Ö ×Ø Ô Ö ÐÐ Ð Ð ÓÖ Ø Ñ× ÓÖ
ÓÑÔÙØ Ò Ø
Ö
Ø Ö ×Ø
ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ´ Ò
Ò
Ø ÒÚ Ö× µ Ó Ñ ØÖ
×
¯ Ö ÓÛ ØÞ³× Ð ÓÖ Ø Ñ
¯ ×ØÓÚ³× Ð ÓÖ Ø Ñ
¯ × Ò Ý³× Ð ÓÖ Ø Ñ ´ ÓÖ ¬ Ð × Ó
Ö ¼µ
ÐÐ Ø Ö Ð ÓÖ Ø Ñ×
Ò ÓÖÑ Ð Þ Û Ø
Æ ¾
Ö
Ù Ø× ´
Ö
Ù Ø× Ó ÔÓÐÝÒÓÑ Ð × Þ ¸ Ò
ÔØ Ç´ÐÓ ¾µ¸ Ò Ø × Þ Ó Ñ ØÖ
×µº
6. Ï
ÓÒ
ÒØÖ Ø ÓÒ Ö ÓÛ ØÞ³× Ð ÓÖ Ø Ñ¸
Ù×
¯ ÁØ Ó × ÒÓØ Ù× Ú × ÓÒ׸ ×Ó Ø × ¬ Ð
Ò Ô Ò ÒØ ´×Ó Ø ÛÓÖ × ÓÚ Ö
ÓÑÑÙØ Ø Ú Ö Ò ×µº
¯ ÁØ × ×Ý ØÓ ÓÖÑ Ð Þ ¸ × Ò
Ø ÓÒÐÝ
Ö ÕÙ Ö × Ñ ØÖ Ü ÔÓÛ Ö Ò × ÔÖ Ñ Ø Ú
ÓÔ Ö Ø ÓÒº Ì × × Ò Ú ÒØ
Ù×
Û Û ÒØ ØÓ × Ò ÐÓ
Ð Ø ÓÖ × ÓÖ
ÔÖÓÚ Ò Ñ ØÖ Ü ÒØ Ø ×º
ÉÙ ×Ø ÓÒ Ò Û ÔÖÓÚ
ÓÖÖ
ØÒ ××
ÓÒ Ø ÓÒ× ÓÖ Ö ÓÛ ØÞ³× Ð ÓÖ Ø Ñ Ù× Ò
Æ ¾
ÓÒ
ÔØ× ÓÒÐݸ Ù×Ø × Û Û Ö Ð ØÓ
ÔÖÓÚ
ÓÖÖ
ØÒ ××
ÓÒ Ø ÓÒ× ÓÖ Ù×× Ò
Ð Ñ Ò Ø ÓÒ Ù× Ò ÔÓÐÝØ Ñ
ÓÒ
ÔØ× ÓÒÐÝ
7. Ï Ø ÛÓÙÐ Ø × Ö Ð
ÓÖÖ
ØÒ ××
ÓÒ Ø ÓÒ× ÓÖ Ö ÓÛ ØÞ³× Ð ÓÖ Ø Ñ
Ö ÓÛ ØÞ³× Ð ÓÖ Ø Ñ
ÓÑÔÙØ × Ø
Ó Æ
ÒØ× Ó Ø
Ö
Ø Ö ×Ø
ÔÓÐÝÒÓÑ Ð
Ó Ñ ØÖ Ü¸ Ù× Ò Ø Ö Ø Ñ ØÖ Ü ÔÖÓ Ù
Ø׺
ÌÛÓ ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÔÖÓÔ ÖØ × Ö Ð Ø ØÓ Ø
Ö
Ø Ö ×Ø
ÔÓÐÝÒÓÑ Ð¸ Ö
¯ Ì ÝРݹÀ Ñ ÐØÓÒ Ì ÓÖ Ñ¸
Ô ´ µ ¼¸
¯ ÑÙÐØ ÔÐ
Ø Ú ØÝ Ó Ø ÖÑ Ò Òظ
Ø´ µ Ø´ µ Ø´ µ
´Ø
ÓÒ×Ø ÒØ
Ó Æ
ÒØ Ó Ø
Ö ÔÓÐÝ
Ó Ò Ò ¢Ò Ñ ØÖ Ü × ´ ½µÒ Ø´ µµº
8. ÁÒ
ظ Á Á ÓÐÐÓÛ× ´ Ò ÔÓÐÝ× Þ
Æ ¾¹ Ö µ ÖÓÑ Ø Ö ÔÖÓÔ ÖØݸ Ò Ò
ÐÐ Ø ÓØ Ö Ñ ØÖ Ü ÒØ Ø ×¸ ÔÖ ×ÙÑ ÐÝ
Ö ÓÖ Ö ¸ Ð×Ó ÓÐÐÓÛ ´ Ò ÔÓÐÝ× Þ
Æ ¾¹ Ö µ ÖÓÑ Ø Ñº
ËÓ Ø ÕÙ ×Ø ÓÒ ×
Ò Û ÔÖÓÚ Ø ÝРݹÀ Ñ ÐØÓÒ Ì ÓÖ Ñ
Ò Ø ÑÙÐØ ÔÐ
Ø Ú ØÝ Ó Ø Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò
ÔÓÐÝ× Þ Æ ¾¹ Ö
ÌÓ ×ØÙ Ý Ø × ÔÖÓ Ð Ñ¸ Ò ØÓ × Û Ø ØÝÔ
Ó Ö ×ÓÒ Ò × Ò
×× ÖÝ ØÓ ÓÖÑ Ð Þ Ø
ÙÒ Ú Ö× Ð Ø ÓÖ Ñ× Ó Ð Ò Ö Ð Ö ¸ Û
Ú ÐÓÔ Ø Ö ÐÓ
Ð Ø ÓÖ ×
Ä Ä È Ä È
Ó Ò
Ö × Ò ×ØÖ Ò Ø º
9. Ä Ò Ö Ð Ö ´Ä µ
Ä × ÕÙ ÒØ ¬ Ö¹ Ö Ø ÓÖݸ Û Ø Ø Ö
×ÓÖØ× Ò
׸ ¬ Ð Ð Ñ ÒØ׸ Ñ ØÖ
׺
ÁØ
ÓÒØ Ò×
¯ Ø Ù×Ù Ð Ü ÓÑ× Ó Ö Ø Ñ Ø
ÓÖ Ò
×
´Æ µ¸ Ò Ò Ù
Ø ÓÒ ÓÒ Ò
×
¯ Ø Ù×Ù Ð ¬ Ð Ü ÓÑ×
¯ Û Ý Ó
ÓÒ×ØÖÙ
Ø Ò Ò Û Ñ ØÖ
× ´Ù× Ò
×ÓÑ ÖÙ Ñ ÒØ ÖÝ ¹
Ð
ÙÐÙ×µº
ÓÖ Ü ÑÔÐ ¸ Ú Ò Ò ¢Ò Ñ ØÖ
× ¸
Û
ÓÒ×ØÖÙ
Ø Ø Ò Û Ñ ØÖ Ü · ×
Ò Ò · º
10. ÐÐ Ø Ù×Ù Ð Ö Ò ÔÖÓÔ ÖØ × Ó Ñ ØÖ
×
Ò
ÔÖÓÚ Ò Ò Ä º ÓÖ Ü ÑÔÐ
´ µ ´ µ
· ·
ÀÓÛ Ú Ö¸ Ø × × ÖÐÝ Û Ø ÓÖÝ ÐÐ
Ø ÓÖ Ñ×
Ò ØÖ Ò×Ð Ø ØÓ Ñ Ð × Ó
Ø ÙØÓÐÓ ×¸ Û Ø ÙÒ ÓÖÑ ÔÓÐÝ× Þ Ö
ÔÖÓÓ ×º
Ì ÙÒ ÖÐÝ Ò ¬ Ð ´ Ô ÓÖ É µ × Ô Ö Ñ Ø Ö
Ò Ø ØÖ Ò×Ð Ø ÓÒ¸ Ú Ò Ø ÓÙ Ø Ø ÓÖ ×
Ä ¸ Ä È¸ Ò Ä È¸ Ö ¬ Ð Ò Ô Ò Òغ
Ð×Ó¸ Ä ÔÖÓÚ × Ø ÕÙ Ú Ð Ò
Ó Ø Ñ ØÖ Ü
ÒØ Ø × Ø Ø Û ÔÖÓÔÓ× ×
Ò Ø × ÓÖ
× Ô Ö Ø Ò Ö Ò ÜØ Ò Ö º
ÇÈ Æ ÈÊÇ Ä Å Á× Á Á
´ Ò Ò
Ø ÓØ Ö ÒØ Ø ×µ Ò Ô Ò ÒØ
Ó Ä
½¼
11. Ä Ò Ö Ð Ö Û Ø Ñ ØÖ Ü ÔÓÛ Ö×
´Ä ȵ
Ï ÜØ Ò Ø Ø ÓÖÝ Ä ØÓ Ä È Ý Ò
Ò Û ÙÒ
Ø ÓÒ ×ÝÑ Óи ȸ Û Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò
¬Ò Ò Ü ÓÑ×
È´ ¼µ Á
È´ Ò · ½µ È´ Òµ £
Ï
Ò
ÓÑÔÙØ Ø Ö Ø Ñ ØÖ Ü ÔÖÓ Ù
Ø
Û Ø ÔÓÛ Ö Ò ¸ ÓÖ Ü ÑÔÐ ¸ Û
Ò
ÓÑÔÙØ
× ÓÐÐÓÛ×
A
B
C
ABC
3
Ë Ò
Û
Ò
ÓÑÔÙØ Ø Ò¹Ø ÔÓÛ Ö Ó
Ñ ØÖ Ü Ý Ö Ô Ø ×ÕÙ Ö Ò Ò ÐÓ Ò Ñ ÒÝ
×Ø Ô׸ Ø ÓÐÐÓÛ× Ø Ø Û
Ò
ÓÑÔÙØ Ø Ö Ø
Ñ ØÖ Ü ÔÖÓ Ù
Ø× Û Ø Æ ¾
Ö
Ù Ø׺
½½
12. ÁÒ Ä È Û
Ò ÜÔÖ ×× Ö ÓÛ ØÞ³× Ð ÓÖ Ø Ñº
Ö ÓÛ ØÞ³× Ð ÓÖ Ø Ñ
ÓÑÔÙØ × Ø
Ö
ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ó Ò Ø ÖÑ× Ó Ø
Ö
ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ó Åº
a 11
M
R
S
Ï Ø
ÓÒÒ
Ø× Ø
Ö ÔÓÐÝ Ó ØÓ Ø
Ö
ÔÓÐÝ Ó Å × Ë ÑÙ Ð×ÓÒ³× ÒØ ØÝ
Ô ´Üµ ´Ü ½½µÔŴܵ Ê £ ´ÜÁ ŵ £Ë
½¾
13. Ë Ò
´ÜÁ ŵ
Ò ÜÔÖ ×× Ò Ø ÖÑ×
Ó Ø
Ó Æ
ÒØ× Ó ÔŸ Ò Ù× Ò Ø
ÝРݹÀ Ñ ÐØÓÒ Ì ÓÖ Ñ¸ Û
Ò Ö ×Ø Ø
Ë ÑÙ Ð×ÓÒ³× ÒØ ØÝ × Ñ ØÖ Ü ÒØ Øݺ
ÓÖ Ü ÑÔÐ ¸ × ¿ ¢¿ Ñ ØÖ Ü¸ Ø Ò
Ô
¼
½ ¼ ¼
½½ ½ ¼
ÊË ½½ ½
ÊÅË ÊË ½½
½
ÔÅ
Û Ö Ô Ò ÔÅ Ö
ÓÐÙÑÒ Ú
ØÓÖ×
ÓÒØ Ò Ò Ø
Ó Æ
ÒØ× Ó Ø
Ö ÔÓÐÝ×
Ó Ò Å¸ Ö ×Ô
Ø Ú Ðݺ
½¿
14. Ì Ù× Ô ½ÔŸ Û Ö ½ × ÌÓ ÔÐ ØÞ
ÐÓÛ Ö ØÖ Ò ÙÐ Ö Ñ ØÖ Ü¸ Ò Ô ÔÅ Ö Ø
Ö ÔÓÐÝ× Ó Å¸ Ö ×Ô
Ø Ú Ðݺ
Ï
Ò Ö Ô Ø Ø × ÔÖÓ
ÙÖ ØÓ
ÓÑÔÙØ
ÔŸ Ý ¬Ò Ò ÔÅ Ò Ø ÖÑ× Ó Ø
Ö ÔÓÐÝ
Ó Å ½ ½℄º ÓÒØ ÒÙ Ò Ø × Û Ý Û Ø
Ô ½ ¾ ¡¡¡ Ò
Û Ö
× ¬Ò Ò Ø ÖÑ× Ó Å Ê Ë
a R
S M
jj j
j j
½
15. Ì Ù׸ Û
Ò
ÓÑÔÙØ Ø
Ó Æ
ÒØ× Ó Ø
Ö
Ø Ö ×Ø
ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ó Ñ ØÖ Ü Ò Ä È¸
Û Ø Ö ÓÛ ØÞ³× Ð ÓÖ Ø Ñº ÙÖØ ÖÑÓÖ
ÌÀ ÇÊ Å Ä È ÔÖÓÚ × Ø ÕÙ Ú Ð Ò
Ó
Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÔÖ Ò
ÔÐ ×
ßÌ ÝРݹÀ Ñ ÐØÓÒ Ì ÓÖ Ñº
ßÌ Ü ÓÑ Ø
¬Ò Ø ÓÒ Ó Ø ÖÑ Ò ÒØ
´ ÐØ ÖÒ Ø Ò ¸ ÑÙÐØ Ð Ò Ö¸ Ò ½ ÓÒ Áµº
ßÌ
Ó
ØÓÖ ÜÔ Ò× ÓÒ ÓÖÑÙÐ º
Ò Ä È Ð×Ó ÔÖÓÚ × Ø Ø Ø ÝРݹÀ Ñ ÐØÓÒ
Ì ÓÖ Ñ ÓÐÐÓÛ× ÖÓÑ Ø ÑÙÐØ ÔÐ
Ø Ú ØÝ Ó
Ø Ø ÖÑ Ò Òغ
ÙÖØ ÖÑÓÖ ¸ Á Á ´ Ò Ø
ÓØ Ö Ñ ØÖ Ü ÒØ Ø ×µ ÓÐÐÓÛ× Ò Ä È ÖÓÑ
ÒÝ Ó Ø ÓÚ ÔÖ Ò
ÔР׺
ÇÈ Æ ÈÊÇ Ä Å Ò ÒÝ Ó Ø ×
ÔÖ Ò
ÔÐ × ÔÖÓÚ Ò Ò Ä È
½
16. Ï ÓÙØÐ Ò Ø ÔÖÓÓ Ó Ø Ü ÓÑ Ø
¬Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ø ÖÑ Ò ÒØ ÖÓÑ Ø
ÝРݹÀ Ñ ÐØÓÒ Ì ÓÖ Ñº
ßÁØ × ×Ý ØÓ × ÓÛ Ø Ø Ø´ÁÒµ ½
´ Ò Ù
Ø ÓÒ ÓÒ Ò¸ ÒÓØ Ò Ø Ø Ø ÔÖ Ò
Ô Ð
×Ù Ñ ØÖ Ü Ó ÁÒ × ÁÒ ½µº
ßÁØ × ×Ý ØÓ × ÓÛ ÑÙÐØÐ Ð Ò Ö ØÝ Ò Ø ¬Ö×Ø
ÖÓÛ¸ Ö
ØÐÝ ÖÓÑ Ö ÓÛ ØÞ³× Ð ÓÖ Ø Ñº ÌÓ
× ÓÛ ÑÙÐØ Ð Ò Ö ØÝ Ò ÐÐ ÖÓÛ׸ Û Ò
ÐØ ÖÒ Ø ÓÒº
ß ÐØ ÖÒ Ø ÓÒ × Ø Æ
ÙÐØ Ô Öغ Ì ÔÖÓÓ
Ó ÐØ ÖÒ Ø ÓÒ × Ø ÓÐÐÓÛ Ò
ÓÑÔÓÒ ÒØ×
´ µ Ä Ø Å Ø ¹Ø ÔÖ Ò
Ô Ð ×Ù Ñ ØÖ Ü Ó
´×Ó Å½ ½ ½℄¸ Ò Å ·½ Å ½ ½℄µº
Ë ÓÛ ´ Ò Ä Èµ Ø Ø Ø ¹À Ì ÓÖ Ñ ÓÐ ×
ÓÖ Å ¸ Ø Ò
Ò Á ´ ·½µ Á ´ ·½µ Ú Ø × Ñ
Ö ÔÓÐݺ
½
18. Ì Ø ÓÖ Ñ× Ó Ä
Ò ØÖ Ò×Ð Ø ØÓ
× Ð ÔÓÐÝ× Þ Ö ÔÖÓÓ ×º
Ì Ø ÓÖ Ñ× Ó Ä È
Ò ØÖ Ò×Ð Ø ØÓ
× Ð ÕÙ × ¹ÔÓÐÝ× Þ Ö ÔÖÓÓ ×¸ º º¸ ÒØÓ
Æ ¾¹ Ö ÔÖÓÓ ×º
Ì Ù׸ Ø ÕÙ Ú Ð Ò
Ó Ø ÔÖ Ò
ÔÐ ×
Ñ ÒØ ÓÒ Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ× ×Ð
Ò × ÓÛÒ
Û Ø ÔÓÐÝ× Þ Æ ¾¹ Ö ÔÖÓÓ ×º
½
19. Ä È
Ì × × Ä È Û Ö Û ÐÐÓÛ Ò Ù
Ø ÓÒ ÓÒ
ÓÖÑÙÐ × Ó Ø ØÝÔ ´ Òµ«¸ Û Ö « ×
ÒÓ ÕÙ ÒØ ¬ Ö׸ Ò × Ú Ö Ð Ó ØÝÔ
Ñ ØÖ Ü Ó × Þ Ø ÑÓ×Ø Ò ¢Òº
Ì × ×ØÖ Ò Ø Ò Ò Ó Ò Ù
Ø ÓÒ × Û Ø ÐÐÓÛ×
Ù× ØÓ ÔÖÓÚ Ø ÝРݹÀ Ñ ÐØÓÒ Ì ÓÖ Ñº
Ì Ø ÓÖ Ñ× Ó Ä È
Ò ØÖ Ò×Ð Ø ØÓ
ÙÒ ÓÖÑ ÔÓÐÝ× Þ ÜØ Ò Ö ÔÖÓÓ ×º
Ì Ö ÓÖ ¸ ÓÙÖ ÔÖÓÓ Ó Ø ÝРݹÀ Ñ ÐØÓÒ
Ì ÓÖ Ñ × × Ð ÔÖÓÓ Ò
ظ × Ö ×
Û ÒÓÛ¸ Ø × × Ø ¬Ö×Ø × Ð ÔÖÓÓ Ó Ø ×
ÔÖ Ò
ÔÐ º
ÐÐ ÔÖ Ú ÓÙ× ÔÖÓÓ × Ó Ø ÝРݹÀ Ñ ÐØÓÒ
Ì ÓÖ Ñ Ö Ð ÓÒ Ø Ä Ö Ò ÜÔ Ò× ÓÒ Ó
Ø Ø ÖÑ Ò Òظ Û
ÓÖ Ñ ØÖ Ü Ó × Þ Ò
× Ò Ø ÖÑ׸ Ò Ò
Ø × Ú ÖÝ Ò × Ð º
½
20. Ì Ò Ø Ä È ÔÖÓÓ Ó Ø ¹À
Ì ÓÖ Ñ × Ø ÓÐÐÓÛ Ò
Á Ô ´ µ ¼¸ Ø Ø ×¸ Ø ¹À Ø ÓÖ Ñ Ð×
ÓÖ ¸ Ø Ò Û
Ò ¬Ò Ò ÔÓÐÝØ Ñ
×Ù ¹Ñ ØÖ Ü Ó ÓÖ Û
Ô ´ µ ¼¸ º º¸
ÓÖ Û
Ø ¹À Ø ÓÖ Ñ Ð× ÐÖ Ýº
Ë Ò
Ø ¹À Ì ÓÖ Ñ Ó × ÒÓØ Ð ÓÖ ½ ¢½
Ñ ØÖ
׸ Ø Ö Ø ÑÓ×Ø Ò ´× Þ Ó µ ×Ø Ô×
Û Ø
ÓÒØÖ
Ø ÓÒº
Ì ×
Ò ÜÔÖ ×× Û Ø ÙÒ Ú Ö× Ð
ÕÙ ÒØ ¬ Ö× ÓÚ Ö Ú Ö Ð × Ó ØÝÔ Ñ ØÖ Ü
Ø ¹À Ø ÓÖ Ñ ÓÐ × ÓÖ ÐÐ Ñ ØÖ
×
×Ñ ÐÐ Ö Ø Ò ¸ Ø Ò Ø Ð×Ó ÓÐ × ÓÖ º
¾¼
21. ËÙÑÑ ÖÝ Ó ÈÖÓÔÓ× Ø ÓÒ Ð ÌÖ Ò×Ð Ø ÓÒ×
Ì ÓÖÝ
ÈÖÓÔÓ× Ø ÓÒ Ð ÈÖÓÓ ËÝ×Ø Ñ
´ Ò
ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò
ÓÑÔÐ Ü ØÝ
Ð ××µ
¬ Ð Ô ¬ Ð É
Ä
ÔÓÐÝ× Þ
Ö Û Ø
ÅÇ Ô Ø ×
´ ¼ Ô℄µ
ÔÓÐÝ× Þ Ö
´Æ ½µ
Ä È
ÕÙ × ¹ÔÓÐÝ× Þ Ö
´ Ì Æ ¾µ
Ä È ÔÓÐÝ× Þ ÜØ Ò Ö
´Èµ
¾½
22. ÇÔ Ò ÈÖÓ Ð Ñ×
¯ Á× Á Á Ò Ô Ò ÒØ Ó Ä
¯ Ò Ø ÝРݹÀ Ñ ÐØÓÒ Ì ÓÖ Ñ Ò »ÓÖ
Ø ÑÙÐØ ÔÐ
Ø Ú ØÝ Ó Ø Ø ÖÑ Ò ÒØ
× ÓÛÒ Ò Ä È
¯ Ò Á Á × ÓÛÒ Ò Ä È
¯ ÅÓÖ Ò Ö ÐÐݸ
Ò ÙÒ Ú Ö× Ð Ñ ØÖ Ü
ÒØ Ø × × ÓÛÒ Û Ø ÕÙ × ¹ÔÓÐÝ× Þ
Ö ÔÖÓÓ ×
¾¾
